题号:1838    题型:填空题    来源:2011年全国硕士研究生招生考试试题
设 $L$ 是柱面 $x^{2}+y^{2}=1$ 与平面 $z=x+y$ 的交线, 从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看去为逆时针方向, 则 曲线积分 $\oint_{L} x z \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y+\frac{y^{2}}{2} \mathrm{~d} z=$
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答案:
$\pi$

解析:

解 由题设条件知 $P=x z, Q=x, R=\frac{y^{2}}{2}$,
根据斯托克斯公式得
$$
\oint_{L} x z \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y+\frac{y^{2}}{2} \mathrm{~d} z=\int_{\Sigma}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
$$
\begin{aligned}
&=\iint_{\Sigma}(y-0) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(x-0) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(1-0) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
&=\iint_{\Sigma} y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+\mathrm{d} x \mathrm{~d} y,
\end{aligned}
$$
其中 $\Sigma$ 是位于柱面 $x^{2}+y^{2}=1$ 内的平面 $z=x+y$, 取上侧, 且
$$
\begin{aligned}
&\iint_{\Sigma} y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0, \iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z=0, \\
&\iint_{\Sigma} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_{x y}: x^{2}+y^{2} \leqslant 1} 1 \cdot \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\pi,
\end{aligned}
$$
其中 $D_{x y}$ 是 $\Sigma$ 在 $x O y$ 平面上的投影.
因此 $\oint x z \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y+\frac{y^{2}}{2} \mathrm{~d} z=\pi$.
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