题号:1836    题型:填空题    来源:2011年全国硕士研究生招生考试试题
微分方程 $y^{\prime}+y=\mathrm{e}^{-x} \cos x$ 满足条件 $y(0)=0$ 的解为 $y=$
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答案:
$\mathrm{e}^{-x} \sin x$

解析:

解 由条件知: $P(x)=1, Q(x)=\mathrm{e}^{-x} \cos x$, 于是微分方程通解为
$$
\begin{aligned}
y &=\mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x}\left(\int Q(x) \mathrm{e}^{\int P(x) \mathrm{d} x} \mathrm{~d} x+C\right)=\mathrm{e}^{-\int \mathrm{d} x}\left(\int \mathrm{e}^{-x} \cos x \mathrm{e}^{\int 1 \mathrm{~d} x} \mathrm{~d} x+C\right) \\
&=\mathrm{e}^{-x}\left(\int \cos x \mathrm{~d} x+C\right)=\mathrm{e}^{-x}(\sin x+C),
\end{aligned}
$$
由 $y(0)=0$ 得 $C=0$, 因此所求特解为 $y=\mathrm{e}^{-x} \sin x$.
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