已知函数 $f(x)=2 \sin (\omega x+\varphi)(\omega>0)$ 满足 $f\left(\frac{\pi}{3}\right)=2, f(\pi)=0$, 且 $f(x)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{12}\right)$ 单调, 则关于 $\omega$ 以下说法正确的是 ( )
$\text{A.}$ $\omega$ 有 8 种取值
$\text{B.}$ $\omega$ 的取值有无限个
$\text{C.}$ $\omega$ 不能等于 $\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $\omega$ 可以等于 $\frac{39}{4}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$