已知函数 $f(x)=\sin \omega x(\omega>0)$ 在区间 $\left[-\frac{2 \pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right]$ 上单调递增且 $|f(x)|=1$ 在区间 $[0, \pi]$ 上有且仅有一个解，则 $\omega$ 的取值范围是（）
$\text{A.}$ $\left(0, \frac{3}{4}\right)$
$\text{B.}$ $\left[\frac{3}{4}, \frac{3}{2}\right)$
$\text{C.}$ $\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$
$\text{D.}$ $\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right]$