已知函数 $f(x)=\sin \omega x(\omega>0)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$ 上单调递增, 则 $\omega$ 的取值范围是 $(\quad)$
$\text{A.}$ $[2,+\infty)$
$\text{B.}$ $(0,2]$
$\text{C.}$ $\left[\frac{2}{3},+\infty\right)$
$\text{D.}$ $\left(0, \frac{2}{3}\right]$
$\text{E.}$
$\text{F.}$