题号:1830    题型:单选题    来源:2011年全国硕士研究生招生考试试题
设 $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (\sin x) \mathrm{d} x, J=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (\cot x) \mathrm{d} x, K=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (\cos x) \mathrm{d} x$, 则 $I, J, K$ 的大小关系为( )
$A.$ $I < J < K$. $B.$ $I < K < J$. $C.$ $J < I < K$. $D.$ $K < J < I$.
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答案:
B

解析:

解 当 $0 < x < \frac{\pi}{4}$ 时, $\sin x < \cos x < 1 < \cot x$, 于是 $\ln \sin x < \ln \cos x < \ln \cot x$, 由定积分性质得
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (\sin x) \mathrm{d} x < \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (\cos x) \mathrm{d} x < \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (\cot x) \mathrm{d} x,
$$
即 $I < K < J$. 故应选 B.

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