题号:1828    题型:单选题    来源:2011年全国硕士研究生招生考试试题
类型:考研真题
(2) 设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调减少, $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0, S_{n}=\sum_{k=1} a_{k}(n=1,2, \cdots)$ 无界, 则幂级数 $\sum_{n=1} a_{n}(x-1)^{n}$ 的收 敛域为( )
$A.$ $(-1,1]$. $B.$ $[-1,1)$. $C.$ $[0,2)$. $D.$ $(0,2]$.
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答案:
C

解析:

解 已知幂级数 $\sum_{n=1}^{n} a_{n}(x-1)^{n}$ 的收敛域必关于 $x=1$ 对称(端点除外), 据此可排除选项 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$; 将 $x=0$ 代人得级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$, 因为 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调减少且 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$, 由莱布尼茨审敛法知级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 收敛.
将 $x=2$ 代人得级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$, 其前 $n$ 项和数列为: $S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$, 由条件知极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}$ 不存在, 故 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散,
综上知: 幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n}$ 的收敛域为 $[0,2)$.

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