题号:1827    题型:单选题    来源:2011年全国硕士研究生招生考试试题
曲线 $y=(x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{3}(x-4)^{4}$ 的拐点是 $(\quad)$
$A.$ $(1,0)$. $B.$ $(2,0)$. $C.$ $(3,0)$. $D.$ $(4,0)$.
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答案:
C

解析:

解 令 $u=(x-1)(x-2)^{2}, v=(x-3)^{3}(x-4)^{4}$,
则 $y=u v, y^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}, y^{\prime \prime}=u^{\prime \prime} v+2 u^{\prime} v^{\prime}+u v^{\prime \prime}, y^{\prime \prime \prime}=u^{\prime \prime \prime} v+3 u^{\prime \prime} v^{\prime}+3 u^{\prime} v^{\prime \prime}+u v^{\prime \prime \prime}$,
由于已知函数 $y(x)$ 具有任意阶导数, 因此在拐点处必有 $y^{\prime \prime}(x)=0$, 而 $y^{\prime \prime}(1) \neq 0, y^{\prime \prime}(2) \neq 0$, $y^{\prime \prime}(3)=0, y^{\prime \prime}(4)=0$, 于是可排除 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$, 即点 $(3,0)$ 与 $(4,0)$ 是拐点的可疑点.
而 $y^{\prime \prime \prime}(3)=36 > 0$, 即 $y^{\prime \prime}(x)$ 在 $x=3$ 的小邻域内单调增加, 由 $y^{\prime \prime}(3)=0$ 知 $y^{\prime \prime}(x)$ 在 $x=3$ 左、右两侧符号由负变为正, 即曲线 $y(x)$ 在点 $(3,0)$ 两侧凹凸性相反, 由定义知点 $(3,0)$ 为 拐点; 而 $y^{\prime \prime}(x)$ 在 $x=4$ 两侧符号相同, 则 $(4,0)$ 不是拐点.故应选 $\mathrm{C}$.
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