【ID】1826 【题型】解答题 【类型】中考真题 【来源】2022年浙江省绍兴市中考数学试卷参考答案与试题解析
如图, 在矩形 $A B C D$ 中, $A B=6, B C=8$, 动点 $E$ 从点 $A$ 出发, 沿边 $A D, D C$ 向点 $C$ 运动, $A, D$ 关于直线 $B E$ 的对称点分别为 $M, N$, 连结 $M N$.
(1) 如图, 当 $E$ 在边 $A D$ 上且 $D E=2$ 时, 求 $\angle A E M$ 的度数.
(2) 当 $N$ 在 $B C$ 延长线上时, 求 $D E$ 的长, 并判断直线 $M N$ 与直线 $B D$ 的位置关系, 说明理由.
(3) 当直线 $M N$ 恰好经过点 $C$ 时, 求 $D E$ 的长.

答案:
解: (1) $\because D E=2$,
$\therefore A E=A B=6$,
$\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形,
$\therefore \angle A=90^{\circ}$,
$\therefore \angle A E B=\angle A B E=45^{\circ}$.
由对称性知 $\angle B E M=45^{\circ}$,
$\therefore \angle A E M=90^{\circ}$.
(2)如图 1, $\because A B=6, A D=8$,
$\therefore B D=10$,
$\because$ 当 $N$ 落在 $B C$ 延长线上时, $B N=B D=10$, $\therefore C N=2$.
由对称件得, $\angle E N C=\angle B D C$,
$$
\therefore \cos \angle E N C=\frac{2}{E N}=\frac{6}{10} \text {, }
$$
得 $E N=\frac{10}{3}$,
$$
\therefore D E=E N=\frac{10}{3} \text {. }
$$
直线 $M N$ 与直线 $B D$ 的位置关系是 $M N / / B D$. 由对称性知 $B M=A B=C D, M N=A D=B C$,
$\therefore \triangle B M N \cong \triangle D C B$,
$\therefore \angle D B C=\angle B N M$,
所以 $M N / / B D$.


(3)①情况 1: 如图 2, 当 $E$ 在边 $A D$ 上时, 由直线 $M N$ 过点 $C$,
$$
\begin{aligned}
&\therefore \angle B M C=90^{\circ}, \\
&\therefore M C=\sqrt{B C^{2}-B M^{2}}=2 \sqrt{7} . \\
&\because B M=A B=C D, \angle D E C=\angle B C E, \\
&\therefore \triangle B C M \cong \triangle C E D, \\
&\therefore D E=M C=2 \sqrt{7} .
\end{aligned}
$$
(2)情形 ②: 如图 3, 点 $E$ 在边 $C D$ 上时,
$$
\begin{aligned}
&\because B M=6, B C=8, \\
&\therefore M C=2 \sqrt{7}, C N=8-2 \sqrt{7} . \\
&\text { 由 } \angle B M C=\angle C N E=\angle B C D=90^{\circ}, \\
&\therefore \triangle B M C \sim \triangle C N E, \\
&\therefore \frac{B M}{C N}=\frac{M C}{E N}, \\
&\therefore E N=\frac{M C \cdot C N}{B M}=\frac{8 \sqrt{7}-14}{3}, \\
&\therefore D E=E N=\frac{8 \sqrt{7}-14}{3} .
\end{aligned}
$$
综上所述, $D E$ 的长为 $2 \sqrt{7}$ 或 $\frac{8 \sqrt{7}-14}{3}$.


解析:

视频讲解

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