题号:1784    题型:填空题    来源:2010年全国硕士研究生招生考试试题
设总体 $X$ 的概率分布为

其中参数 $\theta \in(0,1)$ 末知. 以 $N_{i}$ 表示来自总体 $X$ 的简单随机样本 (样本容量为 $n$ ) 中等于 $i$ 的 个数 $(i=1,2,3)$. 试求常数 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$, 使 $T=\sum_{i=1}^{3} a_{i} N_{i}$ 为 $\theta$ 的无偏估计量, 并求 $T$ 的方差.
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答案:
解 因为 $N_{1} \sim B(n, 1-\theta), N_{2} \sim B\left(n, \theta-\theta^{2}\right), N_{3} \sim B\left(n, \theta^{2}\right)$,
所以
$$
\begin{aligned}
E T &=E\left(\sum_{i=1}^{3} a_{i} N_{i}\right)=a_{1} E N_{1}+a_{2} E N_{2}+a_{3} E N_{3} \\
&=a_{1} n(1-\theta)+a_{2} n\left(\theta-\theta^{2}\right)+a_{3} n \theta^{2} \\
&=n a_{1}+n\left(a_{2}-a_{1}\right) \theta+n\left(a_{3}-a_{2}\right) \theta^{2}
\end{aligned}
$$
由 $T$ 是 $\theta$ 的无偏估计量, 可知 $E T=\theta$,

$\left\{\begin{array}{l}n a_{1}=0, \\ n\left(a_{2}-a_{1}\right)=1, \\ n\left(a_{3}-a_{2}\right)=0,\end{array}\left\{\begin{array}{l}a_{1}=0, \\ a_{2}=\frac{1}{n}, \\ a_{3}=\frac{1}{n} .\end{array}\right.\right.$
故 $T=0 \times N_{1}+\frac{1}{n} \times N_{2}+\frac{1}{n} \times N_{3}=\frac{1}{n}\left(N_{2}+N_{3}\right)=\frac{1}{n}\left(n-N_{1}\right)$.
$$
D T=D\left[\frac{1}{n}\left(n-N_{1}\right)\right]=\frac{1}{n^{2}} D N_{1}=\frac{1}{n^{2}} \cdot n \cdot(1-\theta) \cdot \theta=\frac{1}{n} \theta(1-\theta) .
$$
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