题号:1783    题型:填空题    来源:2010年全国硕士研究生招生考试试题
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=A \mathrm{e}^{-2 x^{2}+2 x y-y^{2}},-\infty < x < +\infty,-\infty < y < +\infty,
$$
求常数 $A$ 及条件概率密度 $f_{Y \mid X}(y \mid x)$.
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答案:
解 因为 $f(x, y)=\mathrm{A}^{-2 x^{2}+2 x y-y^{2}}=\mathrm{A}^{-(x-y)^{2}} \cdot \mathrm{e}^{-x^{2}}$
$$
=A \pi\left[\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}} \mathrm{e}^{-\frac{(x-y)^{2}}{2 \cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}}}\right]\left[\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{-\frac{x^{2}}{2 \cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}}}}\right]
$$
由概率密度的性质得到
$$
1=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=A \pi \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}}} \mathrm{~d} x \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}} \mathrm{e}^{-\frac{(x-y)^{2}}{2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}}} \mathrm{~d} y=A \pi
$$
故 $A=\frac{1}{\pi}$.
从而 $f(x, y)=\frac{1}{\pi} \mathrm{e}^{-2 x^{2}+2 x y-y^{2}}(-\infty < x < +\infty,-\infty < y < +\infty)$,
又 $f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} y=\frac{1}{\sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-x^{2}} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}} \mathrm{e}^{-\frac{(x-y)^{2}}{2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}}} \mathrm{~d} y=\frac{1}{\sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-x^{2}}$.
所以 $f_{Y \mid X}(y \mid x)=\frac{f(x, y)}{f_{X}(x)}=\frac{1}{\sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-x^{2}+2 x y-y^{2}}=\frac{1}{\sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-(x-y) 2}(-\infty < x < +\infty,-\infty < y < +\infty)$
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