题号:1782    题型:填空题    来源:2010年全国硕士研究生招生考试试题
已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 在正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ 下的标准形为 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$, 且 $\boldsymbol{Q}$ 的第三列 为 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{\mathrm{T}}$.
(I) 求矩阵 $\boldsymbol{A}$;
(II) 证明 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$ 为正定矩阵, 其中 $\boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵.
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答案:
解 (I) 由于二次型在正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ 下的标准形为 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$, 所以 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=1, \lambda_{3}=0$. 由于 $Q$ 的第 3 列为 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{\mathrm{T}}$, 所以 $\boldsymbol{A}$ 对应于 $\lambda_{3}=0$ 的特征向量为 $\boldsymbol{\alpha}_{3}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{\mathrm{T}}$. 由于 $\boldsymbol{A}$ 是实对称矩阵,所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的,设属于 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=1$ 的特征向量为 $\boldsymbol{\alpha}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{\mathrm{T}}$, 则 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}_{3}=0$, 即 $\frac{\sqrt{2}}{2} x_{1}+\frac{\sqrt{2}}{2} x_{3}=0$, 取
$$
\boldsymbol{\alpha}_{1}=(0,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(-1,0,1)^{\mathrm{T}},
$$
则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 与 $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是正交的, 即为对应于 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=1$ 的特征向量.
由于 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 是相互正交的, 所以只需单位化:
$$
\boldsymbol{\beta}_{1}=\frac{\boldsymbol{\alpha}_{1}}{\left\|\boldsymbol{\alpha}_{1}\right\|}=(0,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{2}=\frac{\boldsymbol{\alpha}_{2}}{\left\|\boldsymbol{\alpha}_{2}\right\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1)^{\mathrm{T}} .
$$
$\left.\boldsymbol{\alpha}_{3}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$, 则 $Q^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} Q=\boldsymbol{\Lambda}=\left(\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & 0\end{array}\right)$,
从而 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right)$.
(II) 由于 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $1,1,0$, 所以 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$ 的特征值为 $2,2,1$, 则 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$ 的特征值全大于零, 故 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$ 是正定矩阵.
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