题号:1779    题型:填空题    来源:2010年全国硕士研究生招生考试试题
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1} x^{2 n}$ 的收敛域及和函数.
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答案:
解 (1) 记 $u_{n}(x)=\frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1} x^{2 n}$,
因为 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_{n}(x)}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{(-1)^{n} x^{2 n+2}}{2 n+1} \cdot \frac{2 n-1}{(-1)^{n-1} \cdot x^{2 n}}\right|=x^{2}$,
所以由比值法知, 当 $x^{2} < 1$ 即 $|x| < 1$ 时, 级数收玫; 当 $x^{2} > 1$ 即 $|x| > 1$ 时, 级数发散.
于是可知幂级数的收敛半径 $R=1$, 即收敛区间为 $(-1,1)$;
当 $x=\pm 1$ 时, 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1}$ 为交错级数, 由莱布尼茨定理知级数收敛,
故幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1} x^{2 n}$ 的收敛域为 $[-1,1]$.
(2) 记 $S(x)$ 为级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1} x^{2 n}$ 的和函数, 则
$$
S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1} x^{2 n}=x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1}-x^{2 n-1}=x \cdot S_{1}(x)
$$
其中 $S_{1}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1} x^{2 n-1}, x \in[-1,1]$
由幂级数和函数的性质得
$$
\begin{aligned}
S_{1}^{\prime}(x) &=\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1} x^{2 n-1}\right)^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} x^{2 n-2} \\
&=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots+(-1)^{n-1} x^{2 n-2}+\cdots \\
&=\frac{1}{1+x^{2}}, x \in[-1,1] .
\end{aligned}
$$
所以 $S_{1}(x)=\int_{0}^{x} S_{1}^{\prime}(t) \mathrm{d} t+S_{1}(0)=\int_{0}^{x} \frac{1}{1+t^{2}} \mathrm{~d} t+0=\left.\arctan t\right|_{0} ^{x}=\arctan x$.
故 $S(x)=x S_{1}(x)=x \arctan x, x \in[-1,1]$.

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