题号:1777    题型:填空题    来源:2010年全国硕士研究生招生考试试题
类型:考研真题
求函数 $f(x)=\int_{1}^{x^{2}}\left(x^{2}-t\right) \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ 的单调区间与极值.
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答案:
解 由 $f(x)=\int_{1}^{x^{2}}\left(x^{2}-t\right) \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t=x^{2} \int_{1}^{x^{2}} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t-\int_{-1}^{x^{2}} t \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$, 则 $f^{\prime}(x)=2 x \int_{1}^{x^{2}} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t+x^{2} \mathrm{e}^{-\left(x^{2}\right)^{2}} \cdot 2 x-x^{2} \mathrm{e}^{-\left(x^{2}\right)^{2}} 2 x=2 x \int_{1}^{x^{2}} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$. $f^{\prime \prime}(x)=2 \int_{1}^{x^{2}} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t+2 x \mathrm{e}^{-\left(x^{2}\right) 2} \cdot 2 x=2 \int_{1}^{x^{2}} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t+4 x^{2} \mathrm{e}^{-x^{4}} .$ 令 $f^{\prime}(x)=0$, 得 $x=0, x=\pm 1$.
则 $f^{\prime \prime}(0)=2 \int_{1}^{0} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t < 0, f^{\prime \prime}(\pm 1)=4 \mathrm{e}^{-1} > 0$, 所以 $f(0)=\frac{1}{2}\left(1-\mathrm{e}^{-1}\right)$ 是极大值, $f(\pm 1)=0$ 是极小值.
由于当 $x > 1$ 时, $f^{\prime}(x) > 0 ; 0 < x < 1$ 时, $f^{\prime}(x) < 0$; $-1 < x < 0$ 时, $f^{\prime}(x) > 0$; $x < -1$ 时, $f^{\prime}(x) < 0$.
故 $f(x)$ 的单调递减区间为 $(-\infty,-1) \cup(0,1)$,
$f(x)$ 的单调递增区间为 $(-1,0) \cup(1,+\infty)$.

解析:

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