题号:1775    题型:填空题    来源:2010年全国硕士研究生招生考试试题
类型:考研真题
设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\{X=k\}=\frac{C}{k !}, k=0,1,2, \cdots$, 则 $E\left(X^{2}\right)=$
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答案:
2

解析:

解 因为 $\sum_{k=0}^{\infty} P_{k}=1$, 故
$\sum_{k=0}^{\infty} P_{k}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{C}{k !}=C \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k !}=C \mathrm{e}=1 \quad\left(\right.$ 其中 $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^{k}}{k !}=\mathrm{e}^{\lambda}$.
即得 $C=\mathrm{e}^{-1}$. 所以
$P\{X=k\}=\frac{\mathrm{e}^{-1}}{k !}, k=0,1,2, \cdots$
则 $E X^{2}=\sum_{k=0}^{\infty} k^{2} \cdot \frac{\mathrm{e}^{-1}}{k !}=\mathrm{e}^{-1} \cdot \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{(k-1) !}=\mathrm{e}^{-1} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(k-1)+1}{(k-1) !}=2$.

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