【ID】1773 【题型】填空题 【类型】考研真题 【来源】2010年全国硕士研究生招生考试试题
设 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant z \leqslant 1\right\}$, 则 $\Omega$ 的形心的坚坐标 $\bar{z}=$
答案:
$\frac{2}{3}$.

解析:




由题设所求坐标为 $\bar{z}=\frac{\iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} V}{\iiint_{\Omega} \mathrm{d} V}$,
其中积分区域 $\Omega$ 如右图所示用平面 $z=z(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 截积分区
域 $\Omega$ 得截面 $D(z)$ 且 $D(z)$ 是一圆域: $x^{2}+y^{2} \leqslant z$.
$$
\begin{aligned}
\text { 于是 } \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} V &=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} z \iint_{D(z)} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{1} z \mathrm{~d} z \iint_{D(z)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
&=\int_{0}^{1} z \cdot \pi z \mathrm{~d} z=\pi \int_{0}^{1} z^{2} \mathrm{~d} z=\left.\frac{\pi}{3} z^{3}\right|_{0} ^{1}=\frac{\pi}{3}, \\
\iiint_{\Omega} \mathrm{d} V=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} z \iint_{D(z)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{1} \pi z \mathrm{~d} z=\left.\frac{\pi}{2} z^{2}\right|_{0} ^{1}=\frac{\pi}{2},
\end{aligned}
$$
即 $\bar{z}=\frac{\pi}{3} \cdot \frac{2}{\pi}=\frac{2}{3}$, 故应填 $\frac{2}{3}$.

视频讲解

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