题号:1768    题型:单选题    来源:2010年全国硕士研究生招生考试试题
设 $\boldsymbol{A}$ 为 4 阶实对称矩阵, 且 $\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$. 若 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 3 , 则 $\boldsymbol{A}$ 相似于( )
$A.$ $\left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$. $B.$ $\left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$. $C.$ $\left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$ $D.$ $\left(\begin{array}{cccc}-1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$.
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答案:
D

解析:

解 设 $\lambda$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值. 由于 $\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{A}=\mathbf{0}$,
所以 $\lambda^{2}+\lambda=0$, 即 $(\lambda+1) \lambda=0$,
故 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $-1$ 或 0. 又 $\boldsymbol{A}$ 为实对称矩阵, 所以 $\boldsymbol{A}$ 可相似于对角阵 $\boldsymbol{\Lambda}$. 且 $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{\Lambda})=3$,
于是 $\boldsymbol{\Lambda}=\left(\begin{array}{llll}-1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$.
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