题号:1765    题型:单选题    来源:2010年全国硕士研究生招生考试试题
类型:考研真题
设 $m, n$ 均是正整数, 则反常积分 $\int_{0}^{1} \frac{\sqrt[m]{\ln ^{2}(1-x)}}{\sqrt[n]{x}} \mathrm{~d} x$ 的收敛性( )
$A.$ 仅与 $m$ 的取值有关. $B.$ 仅与 $n$ 的取值有关. $C.$ 与 $m, n$ 的取值都有关. $D.$ 与 $m, n$ 的取值都无关.
编辑试题 我来讲解
答案:
D

解析:

解 显然广义积分 $\int_{0}^{1} \frac{\sqrt[m]{\ln ^{2}(1-x)}}{\sqrt[n]{x}} \mathrm{~d} x$ 有两个瑕点 $x=0$ 与 $x=1$, 则
$$
\int_{0}^{1} \frac{\sqrt[m]{\ln ^{2}(1-x)}}{\sqrt[n]{x}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt[m]{\ln ^{2}(1-x)}}{\sqrt[n]{x}} \mathrm{~d} x+\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{\sqrt[m]{\ln ^{2}(1-x)}}{\sqrt[n]{x}} \mathrm{~d} x,
$$
对于 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt[m]{\ln ^{2}(1-x)}}{\sqrt[n]{x}} \mathrm{~d} x$, 瑕点为 $x=0$,
设 $n > 1, \lim _{x \rightarrow 0+} \frac{\left[\ln ^{2}(1-x)\right]^{\frac{1}{n}}}{x^{\frac{1}{n}}} \cdot x^{\frac{1}{n}}=0$, 由于 $0 < \frac{1}{n} < 1$, 故收玫.
设 $n=1, m=1,2, \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\left[\ln ^{2}(1-x)\right]^{\frac{1}{m}}}{x^{\frac{1}{n}}}$ 存在, 故此时不是反常积分.
设 $n=1, m > 2, \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\left[\ln ^{2}(1-x)\right]^{\frac{1}{m}}}{x} \cdot x^{1-\frac{2}{m}}$ 存在, 又 $0 < 1-\frac{2}{m} < 1$, 故收敛.
对于 $\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{\sqrt[m]{\ln ^{2}(1-x)}}{\sqrt[n]{x}} \mathrm{~d} x$, 瑕点为 $x=1$, 当 $m$ 为正整数时, $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{\left[\ln ^{2}(1-x)\right]^{\frac{1}{n}}}{x^{\frac{1}{n}}} \cdot(1-x)^{\frac{1}{2}}=0$, 故收敛. 所以, 不论 $m, n$ 取何正整数, 反常积分都收敛.故选 D.

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