题号:1764    题型:单选题    来源:2010年全国硕士研究生招生考试试题
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $F\left(\frac{y}{x}, \frac{z}{x}\right)=0$ 确定, 其中 $F$ 为可微函数, 且 $F_{2}^{\prime} \neq 0$, 则 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=$ ()
$A.$ $x$. $B.$ $z$. $C.$ $-x$. $D.$ $-z$.
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答案:
B

解析:

解 因为 $z=z(x, y)$ 由方程 $F\left(\frac{y}{x}, \frac{z}{x}\right)=0$ 确定, 则对 $F\left(\frac{y}{x}, \frac{z}{x}\right)$ 求偏导数得 $F_{x}^{\prime}=F_{1}^{\prime}\left(-\frac{y}{x^{2}}\right)+F_{2}^{\prime}\left(-\frac{z}{x^{2}}\right), \quad F_{y}^{\prime}=F_{1}^{\prime} \cdot \frac{1}{x}, \quad F_{z}^{\prime}=F_{2}^{\prime} \cdot \frac{1}{x}$,
所以 $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_{x}^{\prime}}{F_{z}^{\prime}}=-\frac{F_{1}^{\prime}\left(-\frac{y}{x^{2}}\right)+F_{2}^{\prime}\left(-\frac{z}{x^{2}}\right)}{F_{2}^{\prime} \cdot \frac{1}{x}}=\frac{y F_{1}^{\prime}+z F_{2}^{\prime}}{x F_{2}^{\prime}}$, $\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_{y}^{\prime}}{F_{z}^{\prime}}=-\frac{F_{1}^{\prime} \frac{1}{x}}{F_{2}^{\prime} \frac{1}{x}}=-\frac{F_{1}^{\prime}}{F_{2}^{\prime}}$
则 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{y F_{1}^{\prime}+z F_{2}^{\prime}}{F_{2}^{\prime}}-\frac{y F_{1}^{\prime}}{F_{2}^{\prime}}=z$.
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