题号:1763    题型:单选题    来源:2010年全国硕士研究生招生考试试题
极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}\right]^{x}=(\quad)$
$A.$ $1$ $B.$ $e$ $C.$ ${e}^{a-b}$ $D.$ ${e}^{b-a}$
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答案:
C

解析:

解法 用求幂指数型极限的一般方法。求 $ I=\lim _{x \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{x \ln \frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}} $
归结为求
$$
\begin{aligned}
W &=\lim _{x \rightarrow \infty} x \ln \frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}=\lim _{x \rightarrow \infty} x \ln \left(\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}-1+1\right) \\
&=\lim _{x \rightarrow \infty} x\left(\frac{x^{2}}{(x-a)(x+b)}-1\right)=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x \cdot \frac{(a-b) x+a b}{(x-a)(x+b)}\right)=a-b .
\end{aligned}
$$
因此 $I=\mathrm{e}^{a-b}$.故应选 $\mathrm{C}$.
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