题号:1762    题型:解答题    来源:2022年深圳市中考数学试卷试题与解析
类型:中考真题
(1) 发现: 如图①所示, 在正方形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\mathrm{E}$ 为 $\mathrm{AD}$ 边上一点, 将 $\triangle \mathrm{AEB}$ 沿 $\mathrm{BE}$ 翻折到 $\triangle \mathrm{BEF}$ 处, 延长 $\mathrm{EF}$ 交 $\mathrm{CD}$ 边于 $\mathrm{G}$ 点。求证: $\triangle \mathrm{BFG} \cong \triangle \mathrm{BCG}$.
(2) 探究: 如图②, 在矩形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\mathrm{E}$ 为 $\mathrm{AD}$ 边上一点, 且 $\mathrm{AD}=8, \mathrm{AB}=6$ 。将 $\triangle \mathrm{AEB}$ 沿 $\mathrm{BE}$ 翻折到 $\triangle \mathrm{BEF}$ 处, 延长 $\mathrm{EF}$ 交 $\mathrm{BC}$ 边于 $\mathrm{G}$ 点, 延长 $\mathrm{BF}$ 交 $\mathrm{CD}$ 边于点 $\mathrm{H}$, 且 $\mathrm{FH}=\mathrm{CH}$, 求 $\mathrm{AE}$ 的长.
(3) 拓展: 如图③, 在菱形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\mathrm{E}$ 为 $\mathrm{CD}$ 边上的三等分点, $\angle \mathrm{D}=60 \%$ 将 $\triangle \mathrm{ADE}$ 沿 $\mathrm{AE}$ 翻折得到 $\triangle \mathrm{AFE}$, 直线 $E F$ 交 $B C$ 于点 $P$, 求 $P C$ 的长.
编辑试题 我来讲解
答案:
解: (1) 证明: $\because \triangle \mathrm{ABE}$ 沿 $\mathrm{BE}$ 翻折到 $\triangle \mathrm{BE}$ 且四边形 $\mathrm{ABCD}$ 为正方形
$$
\therefore \mathrm{AB}=\mathrm{BF}, \quad \angle \mathrm{BFE}=\angle \mathrm{A}=90^{\circ}
\therefore \angle \mathrm{BFG}=90^{\circ}=\angle \mathrm{C}
$$
又 $\because \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{BF}, \mathrm{BG}=\mathrm{BG}$
$\therefore \mathrm{Rt} \triangle \triangle \mathrm{BFG} \cong \mathrm{Rt} \triangle \mathrm{BCG}(\mathrm{HL})$


(2) 解: 延长 $B H, A D$ 交于 $Q$, 如图:
设 $F H=H C=x$,
在 $R t \triangle B C H$ 中, $B C^{2}+C H^{2}=B H^{2}$,
$$
\therefore 8^{2}+x^{2}=(6+x)^{2} \text {, }
$$

解得 $x=\frac{7}{3}$,
$$
\begin{aligned}
&\therefore D H=D C-H C=\frac{11}{3}, \\
&\because \angle B F G=\angle B C H=90^{\circ}, \angle H B C=\angle F B G, \\
&\therefore \triangle B F G \circ \triangle B B C H,
\end{aligned}
$$
$\therefore \frac{B F}{B C}=\frac{B G}{B H}=\frac{F G}{H C}$, 即 $\frac{6}{8}=\frac{B G}{6+\frac{7}{3}}=\frac{F G}{\frac{7}{3}}$,
$$
\begin{aligned}
&\therefore B G=\frac{25}{4}, \quad F G=\frac{7}{4} \\
&\because E Q / / G B, D Q / / C B,
\end{aligned}
$$
$\therefore \triangle E F Q \sim \triangle G F B, \triangle D H Q \sim \triangle C H B$,
$\therefore \frac{B C}{D Q}=\frac{C H}{D H}$, 即 $\frac{8}{D Q}=\frac{\frac{7}{3}}{6-\frac{7}{3}}$,
$$
\therefore D Q=\frac{88}{7} \text {, }
$$
设 $A E=E F=m$, 则 $D E=8-m$,
$$
\therefore E Q=D E+D Q=8-m+\frac{88}{7}=\frac{144}{7}-m \text {, }
$$
$\because \triangle E F Q \backsim \triangle G F B$,
$$
\therefore \frac{E Q}{B G}=\frac{E F}{F G} \text {, 即 } \frac{\frac{144}{7}-m}{\frac{25}{4}}=\frac{m}{\frac{7}{4}} \text {, }
$$
解得 $m=\frac{9}{2}$,
$\therefore A E$ 的长为 $\frac{9}{2}$;



(3)(I) 当 $D E=\frac{1}{3} D C=2$ 时, 延长 $F E$ 交 $A D$ 于 $Q$, 过 $Q$ 作 $Q H \perp C D$ 于 $H$, 如图:



\begin{aligned}
&\text { 设 } D Q=x, Q E=y \text {, 则 } A Q=6-x, \\
&\because C P / / D Q, \\
&\therefore \triangle C P E \backsim \triangle Q D E, \\
&\therefore \frac{C P}{D Q}=\frac{C E}{D E}=2, \\
&\therefore C P=2 x, \\
&\because \triangle A D E \text { 沿 } A E \text { 覓折得到 } \triangle A F E, \\
&\therefore E F=D E=2, A F=A D=6, \angle Q A E=\angle F A E, \\
&\therefore A E \text { 是 } \triangle A Q F \text { 的角平分线, } \\
&\therefore \frac{A Q}{A F}=\frac{Q E}{E F}, \text { 即 } \frac{6-x}{6}=\frac{y}{2}(1), \\
&\because \angle D=60^{\circ}, \\
&\therefore D H=\frac{1}{2} D Q=\frac{1}{2} x, H E=D E-D H=2-\frac{1}{2} x, H Q=\sqrt{3} D H=\frac{\sqrt{3}}{2} x, \\
&\text { 在 } R t \triangle H Q E \text { 中, } H E^{2}+H Q^{2}=E Q^{2}, \\
&\therefore\left(1-\frac{1}{2} x\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)^{2}=y^{2}(2), \\
&\text { 联立(1)(2)可解得 } x=\frac{3}{4}, \\
&\therefore C P=2 x=\frac{3}{2} ; \\
&(\text { II }) \text { 当 } C E=\frac{1}{3} D C=2 \text { 时, 延长 } F E \text { 交 } A D \text { 延长线于 } Q^{\prime}, \text { 过 } D \text { 作 } D N \perp A B \text { 交 } B A \text { 延长线于 } N, \text { 如图: }
\end{aligned}


同理 $\angle Q^{\prime} A E=\angle E A F$,
$\therefore \frac{A Q^{\prime}}{A F}=\frac{Q^{\prime} E}{E F}$, 即 $\frac{6+x}{6}=\frac{y}{4}$,
由 $H Q^{\prime 2}+H D^{2}=Q^{\prime} D^{2}$ 得: $\left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)^{2}+\left(\frac{1}{2} x+4\right)^{2}=y^{2}$,
可解得 $x=\frac{12}{5}$,
$$
\therefore C P=\frac{1}{2} x=\frac{6}{5} \text {, }
$$
综上所述, $C P$ 的长为 $\frac{3}{2}$ 或 $\frac{6}{5}$.

解析:

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