题号:1761    题型:解答题    来源:2022年深圳市中考数学试卷试题与解析
一个玻璃球体近似半圆 $O, A B$ 为直径, 半圆 $O$ 上点 $C$ 处有个吊灯 $E F, E F / / A B, C O \perp A B, E F$ 的中 点为 $D, O A=4$.

(1) 如图①, $\mathrm{CM}$ 为一条拉线, $\mathrm{M}$ 在 $\mathrm{OB}$ 上, $\mathrm{OM}=1.6, \mathrm{DF}=0.8$, 求 $\mathrm{CD}$ 的长度.
(2) 如图②一个玻璃镜与圆 $\mathrm{O}$ 相切, $\mathrm{H}$ 为切点, $\mathrm{M}$ 为 $\mathrm{OB}$ 上一点, $\mathrm{MH}$ 为 入射光线, $\mathrm{NH}$ 为反射光线, $\angle \mathrm{OHM}=\angle \mathrm{OHN}=45^{\circ}, \tan \angle \mathrm{COH}=\frac{3}{4}$, 求 $\mathrm{ON}$ 的长度.
(3) 如图③, M 是线段 $\mathrm{OB}$ 上的动点, $\mathrm{MH}$ 为入射光线, $\angle \mathrm{HOM}=50^{\circ}, \mathrm{HN}$ 为反射光线交圆 $\mathrm{O}$ 于点 $\mathrm{N}$, 在 $\mathrm{M}$ 从 $\mathrm{O}$ 运动到 $\mathrm{B}$ 的过程中, 求 $\mathrm{N}$ 点的运动路径长
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答案:
(1) $\because \mathrm{DF}=0.8, \mathrm{OM}=1.6, \quad \mathrm{DF} / / \mathrm{OB}$
$\therefore D F$ 为 $\triangle C O M$ 的中位线
$\therefore \mathrm{D}$ 为 $\mathrm{CO}$ 中点
$\because C O=A O=4$
$$
\therefore C D=2
$$

(2) 过 $\mathrm{N}$ 点作 $\mathrm{ND} \perp \mathrm{OH}$, 交 $\mathrm{OH}$ 于点 $\mathrm{D}$
$\because \angle \mathrm{OHN}=45^{\circ}$
$\therefore \triangle \mathrm{NHD}$ 为等腰直角三角形, 即 $\mathrm{ND}=\mathrm{NH}$
又 $\because \tan \angle \mathrm{COH}=\frac{3}{4}$, 则在 Rt $\triangle \mathrm{NOD}$ 中有 $\mathrm{ND}: \mathrm{OD}=3: 4$
设 $N D=3 x=D H$, 则 $O D=4 x$
$\therefore 3 x+4 x=4$, 解得 $x=4 / 7$
$$
\therefore N D=12 / 7, \quad O D=16 / 7
$$
$\therefore$ 在 Rt $\triangle \mathrm{NOD}$ 中, $\mathrm{ON}=20 / 7$

(3) 如图, 当点 $\mathrm{M}$ 与点 $\mathrm{O}$ 重合时, 点 $\mathrm{N}$ 也与点 $\mathrm{O}$ 重合。当点 $\mathrm{M}$ 运动至点 $\mathrm{A}$ 时, 点 $\mathrm{N}$ 运动至点 $\mathrm{T}$, 故点 $\mathrm{N}$ 路 径长为: $\mathrm{OB}+$ 弧 $\mathrm{BT}$ 。
$$
\because \angle \mathrm{NHO}=\angle \mathrm{MHO}, \angle \mathrm{THO}=\angle \mathrm{MHO}, \angle \mathrm{HOM}=50^{\circ} \text {. }
$$
$$
\begin{aligned}
&\therefore \angle \mathrm{OHA}=\angle \mathrm{OAH}=65^{\circ} . \\
&\therefore \angle \mathrm{THO}=65^{\circ}, \angle \mathrm{TOH}=50^{\circ} .
\end{aligned}
$$

$\therefore \angle \mathrm{BOT}=80^{\circ}$
$\therefore$ 弧 $\mathrm{BT}=2 \pi \times 4 \times \frac{80^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{16}{9} \pi$
$\therefore \mathrm{N}$ 点的运动路径长为: $\mathrm{OB}+$ 弧 $\mathrm{BT}=4+\frac{16}{9} \pi$
故答案为: . $4+\frac{16}{9} \pi$

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