设向量组
$$
\alpha_1=(1,2,1)^T, \alpha_2=(1,3,2)^T, \alpha_3=(1, a, 3)^T
$$
为 $R^3$ 的一组基，
$\beta=(1,1,1)^T$ 在这个基下的坐标为 $(b, c, 1)$.
(1) 求 $a, b, c$ 的值;
(2) 证明 $\alpha_2, \alpha_3, \beta$ 为 $R^3$ 的一组基，并求 $\alpha_2, \alpha_3, \beta$ 到 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的过渡矩阵。
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$