( I ) 求满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_{2}=\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{\xi}_{3}=\boldsymbol{\xi}_{1}$ 的所有向量 $\boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}$;
( II ) 对 ( I ) 中的任意向量 $\boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}$, 证明 $\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}$ 线性无关.

( I ) 对矩阵 $\left(\boldsymbol{A} \vdots \boldsymbol{\xi}_{1}\right)$ 施以初等行变换, 得
$$\left(\boldsymbol{A} \vdots \boldsymbol{\xi}_{1}\right)=\left(\begin{array}{rrr:r} 1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -2 & -2 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right),$$

$$\boldsymbol{\xi}_{2}=\left(\begin{array}{c} -\frac{1}{2}+\frac{k}{2} \\ \frac{1}{2}-\frac{k}{2} \\ k \end{array}\right),$$

$$\boldsymbol{A}^{2}=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 2 & 0 \\ -2 & -2 & 0 \\ 4 & 4 & 0 \end{array}\right),$$

$$\left(\boldsymbol{A}^{2}: \boldsymbol{\xi}_{1}\right)=\left(\begin{array}{rrrr:r} 2 & 2 & 0 & -1 \\ -2 & -2 & 0 & 1 \\ 4 & 4 & 0 & -2 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{rrr:r} 1 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right),$$

$$\boldsymbol{\xi}_{3}=\left(\begin{array}{c} -\frac{1}{2}-a \\ a \\ b \end{array}\right),$$

(II) 证法一 由 (I) 知
$\left|\begin{array}{lll}\boldsymbol{\xi}_{1} & \boldsymbol{\xi}_{2} & \boldsymbol{\xi}_{3}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}-1 & -\frac{1}{2}+\frac{k}{2} & -\frac{1}{2}-a \\ 1 & \frac{1}{2}-\frac{k}{2} & a \\ -2 & k & b\end{array}\right|=-\frac{1}{2} \neq 0$,

$$k_{1} \boldsymbol{\xi}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\xi}_{2}+k_{3} \boldsymbol{\xi}_{3}=\mathbf{0},$$

$$\begin{gathered} k_{2} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_{2}+k_{3} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_{3}=\mathbf{0}, \\ k_{2} \boldsymbol{\xi}_{1}+k_{3} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_{3}=\mathbf{0}, \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} k_{3} \boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{\xi}_{3}=\mathbf{0}, \\ k_{3} \xi_{1}=\mathbf{0}, \end{gathered}$$

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