题号:1737    题型:解答题    来源:2009年全国硕士研究生招生考试试题
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -2\end{array}\right), \boldsymbol{\xi}_{1}=\left(\begin{array}{r}-1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)$.
( I ) 求满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_{2}=\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{\xi}_{3}=\boldsymbol{\xi}_{1}$ 的所有向量 $\boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}$;
( II ) 对 ( I ) 中的任意向量 $\boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}$, 证明 $\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}$ 线性无关.
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答案:
( I ) 对矩阵 $\left(\boldsymbol{A} \vdots \boldsymbol{\xi}_{1}\right)$ 施以初等行变换, 得
$$
\left(\boldsymbol{A} \vdots \boldsymbol{\xi}_{1}\right)=\left(\begin{array}{rrr:r}
1 & -1 & -1 & -1 \\
-1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -4 & -2 & -2
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{rrrrr}
1 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\
0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right),
$$
可求得
$$
\boldsymbol{\xi}_{2}=\left(\begin{array}{c}
-\frac{1}{2}+\frac{k}{2} \\
\frac{1}{2}-\frac{k}{2} \\
k
\end{array}\right),
$$
其中 $k$ 为任意常数.

$$
\boldsymbol{A}^{2}=\left(\begin{array}{rrr}
2 & 2 & 0 \\
-2 & -2 & 0 \\
4 & 4 & 0
\end{array}\right),
$$
对矩阵 $\left(\boldsymbol{A}^{2} \vdots \boldsymbol{\xi}_{1}\right)$ 施以初等行变换, 得
$$
\left(\boldsymbol{A}^{2}: \boldsymbol{\xi}_{1}\right)=\left(\begin{array}{rrrr:r}
2 & 2 & 0 & -1 \\
-2 & -2 & 0 & 1 \\
4 & 4 & 0 & -2
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{rrr:r}
1 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right),
$$
可求得
$$
\boldsymbol{\xi}_{3}=\left(\begin{array}{c}
-\frac{1}{2}-a \\
a \\
b
\end{array}\right),
$$
其中 $a, b$ 为任意常数.
(II) 证法一 由 (I) 知
$\left|\begin{array}{lll}\boldsymbol{\xi}_{1} & \boldsymbol{\xi}_{2} & \boldsymbol{\xi}_{3}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}-1 & -\frac{1}{2}+\frac{k}{2} & -\frac{1}{2}-a \\ 1 & \frac{1}{2}-\frac{k}{2} & a \\ -2 & k & b\end{array}\right|=-\frac{1}{2} \neq 0$,
所以 $\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}$ 线性无关.
证法二 由题设可得 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_{1}=\mathbf{0}$. 设存在数 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$, 使得
等式两端左乘 $\boldsymbol{A}$, 得
$$
k_{1} \boldsymbol{\xi}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\xi}_{2}+k_{3} \boldsymbol{\xi}_{3}=\mathbf{0},
$$
即 等式两端再左乘 $\boldsymbol{A}$, 得
$$
\begin{gathered}
k_{2} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_{2}+k_{3} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_{3}=\mathbf{0}, \\
k_{2} \boldsymbol{\xi}_{1}+k_{3} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_{3}=\mathbf{0},
\end{gathered}
$$
$$
\begin{gathered}
k_{3} \boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{\xi}_{3}=\mathbf{0}, \\
k_{3} \xi_{1}=\mathbf{0},
\end{gathered}
$$

于是 $k_{3}=0$, 代人(2)式, 得 $k_{2} \xi_{1}=\mathbf{0}$, 故 $k_{2}=0$, 将 $k_{2}=k_{3}=0$ 代人(1)式, 可得 $k_{1}=0$, 从而 $\xi_{1}$, $\xi_{2}, \xi_{3}$ 线性无关.
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