题号:1736    题型:解答题    来源:2009年全国硕士研究生招生考试试题
计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$, 其中 $\Sigma$ 是曲面 $2 x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=4$ 的外侧.
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答案:
取 $\Sigma_{1}: x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的外侧, $\Omega$ 为 $\sum$ 与 $\Sigma_{1}$ 之间的部分.
$$
\begin{aligned}
I &=\iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \\
&=\iint_{\Sigma-\Sigma_{1}} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}+\iint_{\Sigma_{1}} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} .
\end{aligned}
$$
根据高斯公式, 可得
$$
\begin{aligned}
&\iint_{\Sigma-\Sigma_{1}} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=\iint_{\Omega^{2}} 0 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0, \\
&\iint_{\Sigma_{1}} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=\iint_{\Sigma_{1}} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1} 3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=4 \pi,
\end{aligned}
$$
所以 $I=4 \pi$.
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