题号:1735    题型:解答题    来源:2009年全国硕士研究生招生考试试题
类型:考研真题
(I) 证明拉格朗日中值定理: 若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续,在 $(a, b)$ 内可导, 则存在 $\xi \in(a, b)$, 使得 $f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)$.
(II) ) 证明: 若函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续, 在 $(0, \delta)(\delta > 0)$ 内可导, 且 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=A$, 则 $f_{+}^{\prime}(0)$ 存 在, 且 $f_{+}^{\prime}(0)=A$.
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答案:
解 ( I ) 取 $F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$,
由题意知 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续,在 $(a, b)$ 内可导, 且
$$
\begin{aligned}
&F(a)=f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a)=f(a), \\
&F(b)=f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=f(a) .
\end{aligned}
$$
根据罗尔定理,存在 $\xi \in(a, b)$, 使得
$$
F^{\prime}(\xi)=f^{\prime}(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0,
$$

$$
f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a) .
$$
(II) 对于任意的 $t \in(0, \delta)$,函数 $f(x)$ 在 $[0, t]$ 上连续,在 $(0, t)$ 内可导,由右导数定义及拉 格朗日中值定理可得
$$
f_{+}^{\prime}(0)=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{f(t)-f(0)}{t-0}=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{f^{\prime}(\xi) t}{t}=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(\xi) \text {, 其中 } \xi \in(0, t) .
$$
由于 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(t)=A$, 且当 $t \rightarrow 0^{+}$时, $\xi \rightarrow 0^{+}$, 所以 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(\xi)=A$, 故 $f_{+}^{\prime}(0)$ 存在, 且 $f_{+}^{\prime}(0)=A$.

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