题号:1733    题型:解答题    来源:2009年全国硕士研究生招生考试试题
设 $a_{n}$ 为曲线 $y=x^{n}$ 与 $y=x^{n+1}(n=1,2, \cdots)$ 所围成区域的面积, 记 $S_{1}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, S_{2}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}$, 求 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的值.
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答案:
曲线 $y=x^{n}$ 与 $y=x^{n+1}$ 的交点为 $(0,0)$ 与 $(1,1)$, 所围区域的面积
$$
\begin{aligned}
&a_{n}=\int_{0}^{1}\left(x^{n}-x^{n+1}\right) d x=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} . \\
&S_{1}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)=\frac{1}{2}, \\
&S_{2}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2 n}-\frac{1}{2 n+1}\right)-\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n} .
\end{aligned}
$$
考察幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} x^{n}$, 知其收敛域为 $(-1,1]$, 和函数为 $-\ln (1+x)$.
因为 $S(x)=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} x^{n}=x-\ln (1+x)$, 令 $x=1$, 得
$$
S_{2}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}=S(1)=1-\ln 2 .
$$
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