题号:1732    题型:解答题    来源:2009年全国硕士研究生招生考试试题
求二元函数 $f(x, y)=x^{2}\left(2+y^{2}\right)+y \ln y$ 的极值.
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答案:
$f_{x}^{\prime}(x, y)=2 x\left(2+y^{2}\right)$,
$f_{y}^{\prime}(x, y)=2 x^{2} y+\ln y+1 .$ 令 $\left\{\begin{array}{l}f_{x}^{\prime}(x, y)=0, \\ f_{y}^{\prime}(x, y)=0,\end{array}\right.$ 解得唯一驻点 $\left(0, \frac{1}{\mathrm{e}}\right) .$
由于
$$
\begin{aligned}
&A=f_{x x}^{\prime \prime}\left(0, \frac{1}{\mathrm{e}}\right)=2\left(2+y^{2}\right) \mid\left(0, \frac{1}{\mathrm{e}}\right)=2\left(2+\frac{1}{\mathrm{e}^{2}}\right), \\
&B-f_{x y}^{\prime \prime}\left(0, \frac{1}{\mathrm{e}}\right)=4 x y \mid\left(0, \frac{1}{\mathrm{e}}\right)=0, \\
&C=f_{y y}^{\prime \prime}\left(0, \frac{1}{\mathrm{e}}\right)=\left(2 x^{2}+\frac{1}{y}\right) \mid\left(0, \frac{1}{\mathrm{e}}\right)=\mathrm{e},
\end{aligned}
$$
所以 $B^{2}-A C=-2 e\left(2+\frac{1}{\mathrm{e}^{2}}\right) < 0$, 且 $A > 0$,
从而 $f\left(0, \frac{1}{\mathrm{e}}\right)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值, 极小值为 $f\left(0, \frac{1}{\mathrm{e}}\right)=-\frac{1}{\mathrm{e}}$.
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