题号:1730    题型:填空题    来源:2009年全国硕士研究生招生考试试题
若 3 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 满足 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}=2$, 其中 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 为 $\boldsymbol{\alpha}$ 的转置, 则矩阵 $\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 的非零特征值为
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答案:
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解析:

设 $\lambda$ 是 $\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 的非零特征值, $\boldsymbol{\eta}$ 是属于 $\lambda$ 的特征向量, 从而 $\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}-\lambda \boldsymbol{\eta}$. 由于 $\lambda \neq 0, \boldsymbol{\eta} \neq 0$, 故 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta} \neq 0$.
设 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\eta}=\mu \neq 0$, 有 $\mu \boldsymbol{\beta}=\lambda \boldsymbol{\eta}$, 所以 $\boldsymbol{\eta}=\frac{\mu}{\lambda} \boldsymbol{\beta}$, 从而 $\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \frac{\mu}{\lambda} \boldsymbol{\beta}=\lambda \cdot \frac{\mu}{\lambda} \boldsymbol{\beta}$. 所以, $\lambda=2$.
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