题号:1729    题型:填空题    来源:2009年全国硕士研究生招生考试试题
设 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1\right\}$, 则 $\iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=$
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答案:
$\frac{4}{15} \pi$

解析:

由对称性
$$
\iint_{\Omega}^{\pi} x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_{\Omega} y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z,
$$
所以 $\iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{1}{3} \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{1}{3} \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{\pi} \sin \varphi \mathrm{d} \varphi \int_{0}^{1} r^{4} \mathrm{~d} r=\frac{4}{15} \pi$.
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