题号:1725    题型:单选题    来源:2009年全国硕士研究生招生考试试题
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 且 $X$ 服从标准正态分布 $N(0,1), Y$ 的概率分布为 $P\{Y=0\}=$ $P\{Y=1\}=\frac{1}{2}$. 记 $F_{Z}(z)$ 为随机变量 $Z=X Y$ 的分布函数, 则函数 $F_{Z}(z)$ 的间断点个数为 ( )
$A.$ 0 $B.$ 1 $C.$ 2 $D.$ 3
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答案:
B

解析:

$$
\begin{aligned}
& F_{Z}(z)=P\{x y \leqslant z\} \\
=& P\{x y \leqslant z \mid y=0\} P\{y=0\}+P\{x y \leqslant z \mid y=1\} P\{y=1\} \\
=& \frac{1}{2}[P\{x y \leqslant z \mid y=0\}+P\{x y \leqslant z \mid y=1\}]
\end{aligned}
$$
由于 $x, y$ 相互独立, 故 $F_{Z}(z)=\frac{1}{2}[P\{x \cdot 0 \leqslant z\}+P\{x \leqslant z\}]$.
(1)若 $z < 0$, 则 $F_{Z}(z)=\frac{1}{2} \Phi(z)$,
(2) 若 $z \geqslant 0$, 则 $F_{Z}(z)=\frac{1}{2}[1+\Phi(z)]$,
所以 $z=0$ 为间断点.故有一个间断点.

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