题号:1724    题型:单选题    来源:2009年全国硕士研究生招生考试试题
设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=0.3 \Phi(x)+0.7 \Phi\left(\frac{x-1}{2}\right)$, 其中 $\Phi(x)$ 为标准正态分布的分 布函数, 则 $E(X)=(\quad)$
$A.$ 0 $B.$ 0. 3 $C.$ 0. 7 $D.$ 1
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答案:
C

解析:

解 $f(x)=F^{\prime}(x)=0.3 \Phi^{\prime}(x)+\frac{0.7}{2} \Phi^{\prime}\left(\frac{x-1}{2}\right)$,
$$
E X=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x=0.3 \int_{-\infty}^{+\infty} x \Phi^{\prime}(x) \mathrm{d} x+0.35 \int_{-\infty}^{+\infty} x \Phi^{\prime}\left(\frac{x-1}{2}\right) \mathrm{d} x .
$$
由于 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数, 所以
$$
\begin{aligned}
&\int_{-\infty}^{+\infty} x \Phi^{\prime}(x) \mathrm{d} x=0, \\
&\int_{-\infty}^{+\infty} x \Phi^{\prime}\left(\frac{x-1}{2}\right) \mathrm{d} x \stackrel{\frac{x-1}{2}=u}{=} 2 \int_{-\infty}^{+\infty}(2 u+1) \Phi^{\prime}(u) \mathrm{d} u=2,
\end{aligned}
$$
则 $E X=0+0.35 \times 2=0.7$.
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