题号:1721    题型:单选题    来源:2009年全国硕士研究生招生考试试题
设有两个数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$, 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$, 则 ( )
$A.$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛时, $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收敛. $B.$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 发散时, $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 发散. $C.$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_{n}\right|$ 收敛时, $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} b_{n}^{2}$ 收敛. $D.$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_{n}\right|$ 发散时, $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} b_{n}^{2}$ 发散.
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答案:
C

解析:

若令 $a_{n}=b_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0, \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛, 却有 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散, $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} b_{n}^{2}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 收敛.故排除 $\mathrm{A}, \mathrm{D}$.
若取 $a_{n}=b_{n}=\frac{1}{n}$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0, \sum_{n=1}^{\infty}\left|b_{n}\right|$ 发散, 却有 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 收敛.故排除 B. 又 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_{n}\right|$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} b_{n}^{2}$ 均为正项级数, 且
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0, \lim _{n \rightarrow \infty}\left|b_{n}\right|=0,
$$
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}^{2} b_{n}^{2}}{\left|b_{n}\right|}=\lim _{n \rightarrow \infty} a n^{2} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty}\left|b_{n}\right|=0,
$$

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