题号:1719    题型:单选题    来源:2009年全国硕士研究生招生考试试题
如图,正方形 $\{(x, y)|| x|\leqslant 1,| y \mid \leqslant 1$} 被其对角线划分为四个区域 $D_{k}(k=1,2,3,4), I_{k}=\iint_{D_{k}} y \cos x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 则 $\max _{1 \leqslant k \leqslant 4}\left\{I_{k}\right\}=$
$A.$ $I_{1}$. $B.$ $I_{2}$. $C.$ $I_{3}$. $D.$ $I_{4}$.
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答案:
A

解析:

令 $z=y \cos x$, 则 $z$ 关于 $y$ 为奇函数, 关于 $x$ 为偶函数, 由题意易知 $D_{1}, D_{3}$ 均关于 $y$ 轴 对称, $D_{2}, D_{4}$ 均关于 $x$ 轴对称. 所以由对称性
$I_{2}=I_{4}=0$,
$$
\begin{aligned}
&I_{1}=2 \iint_{D_{1} \text { 右 }} y \cos x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{0}^{y} y \cos x \mathrm{~d} x=2 \int_{0}^{1} y \sin y \mathrm{~d} y > 0, \\
&I_{3}=2 \iint_{D_{3} \text { 右 }} y \cos x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \int_{-1}^{0} \mathrm{~d} y \int_{0}^{-y} y \cos x \mathrm{~d} x=-2 \int_{0}^{1} y \sin y \mathrm{~d} y < 0 . \text { 故应选 A. }
\end{aligned}
$$
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