题号:1718    题型:单选题    来源:2009年全国硕士研究生招生考试试题
当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)=x-\sin a x$ 与 $g(x)=x^{2} \ln (1-b x)$ 是等价无穷小量, 则
$A.$ $a=1, b=-\frac{1}{6}$. $B.$ $a=1, b=\frac{1}{6}$. $C.$ $a=-1, b=-\frac{1}{6}$. $D.$ $a=-1, b=\frac{1}{6}$.
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答案:
A

解析:

由已知条件
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin a x}{x^{2} \ln (1-b x)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin a x}{x^{2} \cdot(-b x)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-a \cos a x}{-3 b x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{2} \sin a x}{-6 b x}=-\frac{a^{3}}{6 b}=1 .
$$
所以 $a^{3}=-6 b$. 故应选 A.
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