题号:1686    题型:解答题    来源:2008年全国硕士研究生招生考试试题
将函数 $f(x)=1-x^{2}(0 \leqslant x \leqslant \pi)$ 展开成余弦级数, 并求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}$ 的和.
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答案:
由于
$$
\begin{aligned}
&a_{0}=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi}\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} x=2-\frac{2 \pi^{2}}{3} \\
&a_{n}=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi}\left(1-x^{2}\right) \cos n x \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$
$$
=\frac{4}{n^{2}}(-1)^{n+1}, n=1,2, \cdots,
$$
所以
$$
\begin{aligned}
f(x) &=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x \\
&=1-\frac{\pi^{2}}{3}+4 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}} \cos n x, 0 \leqslant x \leqslant \pi .
\end{aligned}
$$
令 $x=0$, 有
$$
f(0)=1-\frac{\pi^{2}}{3}+4 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}},
$$
又 $f(0)=1$, 所以
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{12} .
$$

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