题号:1685    题型:解答题    来源:2008年全国硕士研究生招生考试试题
设 $f(x)$ 是连续函数,
( I ) 利用定义证明函数 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 可导, 且 $F^{\prime}(x)=f(x)$;
(II) 当 $f(x)$ 是以 2 为周期的周期函数时, 证明 $G(x)=2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-x \int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t$ 也是以 2 为周 期的周期函数.
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答案:
(I) 证 对任意的 $x$, 由于 $f$ 是连续函数,所以
$$
\begin{aligned}
& \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x} \\
=& \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{\Delta x} \\
=& \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t}{\Delta x} \\
=& \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(\xi) \Delta x}{\Delta x} \\
=& \lim _{\Delta x \rightarrow 0} f(\xi),
\end{aligned}
$$
其中 $\xi$ 介于 $x$ 与 $x+\Delta x$ 之间.
由 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} f(\xi)=f(x)$, 可知函数 $F(x)$ 在 $x$ 处可导, 且 $F^{\prime}(x)=f(x)$.
(II) 证法一 要证明 $G(x)$ 以 2 为周期, 即要证明对任意的 $x$, 都有 $G(x+2)=G(x)$. 记 $H(x)=G(x+2)-G(x)$, 则
$$
\begin{aligned}
H^{\prime}(x)=&\left(2 \int_{0}^{x+2} f(t) \mathrm{d} t-(x+2) \int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t\right)^{\prime}-\left(2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-x \int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t\right)^{\prime} \\
=& 2 f(x+2)-\int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t-2 f(x)+\int_{0}^{2} f(t) \mathrm{dt} \\
=& 0,
\end{aligned}
$$
又因为
$$
H(0)=G(2)-G(0)=\left(2 \int_{0}^{2} f(t) d t-2 \int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t\right)-0=0,
$$
所以
$$
H(x)=0 \text {, 即 } G(x+2)=G(x) \text {. }
$$

证法二 由于 $f$ 是以 2 为周期的连续函数, 所以对任意的 $x$, 有
$$
\begin{aligned}
G(x+2)-G(x) &=2 \int_{0}^{x+2} f(t) \mathrm{d} t-(x+2) \int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t-2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t+x \int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t \\
&=2\left[\int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t+\int_{2}^{x+2} f(t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right] \\
&=2\left[\int_{0}^{x} f(u+2) \mathrm{d} u-\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right] \\
&=2 \int_{0}^{x}[f(t+2)-f(t)] \mathrm{d} t \\
&=0
\end{aligned}
$$
即 $G(x)$ 是以 2 为周期的周期函数.
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