题号:1684    题型:解答题    来源:2008年全国硕士研究生招生考试试题
已知曲线 $C:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-2 z^{2}=0 \\ x+y+3 z=5,\end{array}\right.$ 求曲线 $C$ 上距离 $x O y$ 面最远的点和最近的点.
0 条评论 分享 0 人点赞 收藏 ​ ​ 3 次查看 我来讲解
答案:
点 $(x, y, z)$ 到 $x O y$ 面的距离为 $|z|$, 故求 $C$ 上距离 $x O y$ 面最远点和最近点的坐标,等 价于求函数 $H=z^{2}$ 在条件 $x^{2}+y^{2}-2 z^{2}=0$ 与 $x+y+3 z=5$ 下的最大值点和最小值点.
令 $L(x, y, z, \lambda, \mu)=z^{2}+\lambda\left(x^{2}+y^{2}-2 z^{2}\right)+\mu(x+y+3 z-5)$,

$$
\left\{\begin{array}{l}
L_{x}^{\prime}=2 \lambda x+\mu=0 \\
L_{y}^{\prime}=2 \lambda y+\mu=0 \\
L_{z}^{\prime}=2 z-4 \lambda z+3 \mu=0 \\
x^{2}+y^{2}-2 z^{2}=0 \\
x+y+3 z=5
\end{array}\right.
$$
得 $x=y$, 从而
$$
\left\{\begin{array}{l}
2 x^{2}-2 z^{2}=0 \\
2 x+3 z=5
\end{array}\right.
$$
解得
根据几何意义,曲线 $C$ 上存在距离 $x O y$ 面最远的点和最近的点,故所求点依次为 $(-5,-5,5)$ 和 $(1,1,1)$.
①因本站题量较多,无法仔细核对每一个试题,如果试题有误,请点击 编辑进行更正。
②如果您有更好的解答,可以点击 我要评论进行评论。
③如果您想挑战您的朋友,点击 我要分享 下载题目图片发给好友。

关闭