题号:1683    题型:解答题    来源:2008年全国硕士研究生招生考试试题
计算曲线积分 $\int_{L} \sin 2 x \mathrm{~d} x+2\left(x^{2}-1\right) y \mathrm{~d} y$, 其中 $L$ 是曲线 $y=\sin x$ 上从点 $(0,0)$ 到点 $(\pi, 0)$ 的一 段.
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答案:
\begin{aligned}
&\int_{L} \sin 2 x \mathrm{~d} x+2\left(x^{2}-1\right) y \mathrm{~d} y \\
&=\int_{0}^{\pi}\left[\sin 2 x+2\left(x^{2}-1\right) \sin x \cdot \cos x\right] \mathrm{d} x \\
&=\int_{0}^{\pi} x^{2} \sin 2 x \mathrm{~d} x \\
&=-\left.\frac{x^{2}}{2} \cos 2 x\right|_{0} ^{\pi}+\int_{0}^{\pi} x \cos 2 x \mathrm{~d} x \\
&\left.=-\frac{\pi^{2}}{2}+\left.\frac{\pi}{2} \sin 2 x\right|_{0} ^{\pi}-\frac{1}{2}\right]_{0}^{\pi} \sin 2 x \mathrm{~d} x \\
&=-\frac{\pi^{2}}{2} .
\end{aligned}
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