题号:1672    题型:单选题    来源:2008年全国硕士研究生招生考试试题
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶非零矩阵, $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵,若 $\boldsymbol{A}^{3}=\boldsymbol{O}$, 则( )
$A.$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 不可逆, $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 不可逆. $B.$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 不可逆, $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 可逆. $C.$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 可逆, $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 可逆. $D.$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 可逆, $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 不可逆.
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答案:
C

解析:

$(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{2}\right)=\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}^{3}=\boldsymbol{E}$,
$$
(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A})\left(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{2}\right)=\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}^{3}=\boldsymbol{E},
$$
所以 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}, \boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 均可逆.
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