题号:1670    题型:单选题    来源:2008年全国硕士研究生招生考试试题
在下列微分方程中, 以 $y=C_{1} \mathrm{e}^{x}+C_{2} \cos 2 x+C_{3} \sin 2 x\left(C_{1}, C_{2}, C_{3}\right.$ 为任意常数) 为通解的是 ( )
$A.$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-4 y=0$. $B.$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0$. $C.$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0$. $D.$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-4 y=0$.
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答案:
D

解析:

由 $y=C_{1} \mathrm{e}^{x}+C_{2} \cos 2 x+C_{3} \sin 2 x$ 可知其特征根为 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2,3}=\pm 2 i$. 故对应的特征方程为
$$
(\lambda-1)(\lambda+2 i)(\lambda-2 i)=(\lambda-1)\left(\lambda^{2}+4\right),
$$
即 $\lambda^{3}-\lambda^{2}+4 \lambda-4=0$ ,
所以所求微分方程为
$$
y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-4 y=0
$$
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