题号:1661    题型:填空题    来源:2021年海南省中考数学试卷
如图, 在矩形 $A B C D$ 中, $A B=6, A D=8$, 将此矩形折叠, 使点 $C$ 与点 $A$ 重合, 点 $D$ 落在点 $D^{\prime}$ 处, 折痕为 $E F$, 则 $A D^{\prime}$ 的长为 ————$ , D D^{\prime}$ 的长为 ————
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答案:
6, $\frac{14}{5} .$

解析:


解: $\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形,
$$
\begin{aligned}
&\therefore C D=A B=6, \\
&\because A D^{\prime}=C D, \\
&\therefore A D^{\prime}=6 ;
\end{aligned}
$$
连接 $A C$,
$$
\begin{aligned}
&\because A B=6, B C=A D=8, \angle A B C=90^{\circ}, \\
&\therefore A C=\sqrt{A B^{2}+B C^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10, \\
&\because \angle B A F=\angle D A E^{\prime}=90^{\circ}, \\
&\therefore \angle B A E=\angle D^{\prime} A F, \\
&\text { 在 } \triangle B A E \text { 和 } \triangle D^{\prime} A F \text { 中 } \\
&\left\{\begin{array}{l}
\angle B A E=\angle D^{\prime} A F \\
\angle B=\angle A D^{\prime} F=90^{\circ}, \\
A B=A D^{\prime}
\end{array}\right. \\
&\therefore \triangle B A E \cong \triangle D^{\prime} A F(A A S),
\end{aligned}
$$

$\therefore D^{\prime} F=B E, \quad \angle A E B=\angle A F D^{\prime}$,
$\therefore \angle A E C=\angle D^{\prime} F D$,
由题意知: $A E=E C$;
设 $B E=x$, 则 $A E=E C=8-x$,
由勾股定理得:
$$
(8-x)^{2}=6^{2}+x^{2},
$$
解得: $x=\frac{7}{4}$,

$$
\begin{aligned}
&\therefore B E=\frac{7}{4}, A E=8-\frac{7}{4}=\frac{25}{4}, \\
&\therefore \frac{B E}{A E}=\frac{7}{25}, \\
&\therefore \frac{D^{\prime} F}{A E}=\frac{7}{25}, \\
&\because \angle A D^{\prime} F=\angle D^{\prime} A F=90^{\circ}, \\
&\therefore D^{\prime} F / / A E, \\
&\because D F / / E C, \\
&\therefore \frac{D^{\prime} F}{A E}=\frac{7}{25}, \\
&\therefore \frac{D D^{\prime}}{A C}=\frac{D^{\prime} F}{A E}=\frac{7}{25}, \\
&\therefore D D^{\prime}=\frac{7}{25} \times 10=\frac{14}{5},
\end{aligned}
$$
故答案为 $6, \frac{14}{5}$.
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