题号:1644    题型:解答题    来源:2007年全国硕士研究生招生考试试题
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)= \begin{cases}2-x-y, & 0 < x < 1,0 < y < 1 , \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
(I) 求 $P\{X > 2 Y\}$;
(II) 求 $Z=X+Y$ 的概率密度 $f_{Z}(z)$.
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答案:

$$
\text { (I ) } \begin{aligned}
P\{X > 2 Y\} &=\iint_{x > 2 y} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
&=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{x}{2}}(2-x-y) \mathrm{d} y \\
&=\int_{0}^{1}\left(x-\frac{5}{8} x^{2}\right) \mathrm{d} x \\
&=\frac{7}{24} .
\end{aligned}
$$
( II ) $f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z-x) \mathrm{d} x$,
其中 $f(x, z-x)= \begin{cases}2-x-(z-x), 0 < x < 1,0 < z-x < 1, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}$
$$
= \begin{cases}2-z, & 0 < x < 1,0 < z-x < 1, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
当 $z \leqslant 0$ 或 $z \geqslant 2$ 时, $f_{2}(z)=0$;
当 $0 < z < 1$ 时,
$$
f_{Z}(z)=\int_{0}^{z}(2-z) \mathrm{d} x=z(2-z)
$$
当 $1 \leqslant z < 2$ 时,
$$
f_{Z}(z)=\int_{z-1}^{1}(2-z) \mathrm{d} x=(2-z)^{2},
$$
即 $Z$ 的概率密度为
$$
f_{Z}(z)=\left\{\begin{array}{lc}
z(2-z), & 0 < z < 1, \\
(2-z)^{2}, & 1 \leqslant z < 2, \\
0, & \text { 其他. }
\end{array}\right.
$$
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