设 3 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=-2$, 且 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,-1,1)^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的属于 $\lambda_{1}$ 的 一个特征向量. 记 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{5}-4 \boldsymbol{A}^{3}+\boldsymbol{E}$, 其中 $\boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵.
( I ) 验证 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 是矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的特征向量, 并求 $\boldsymbol{B}$ 的全部特征值与特征向量;
(II) 求矩阵 $\boldsymbol{B}$.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$