题号:1643    题型:解答题    来源:2007年全国硕士研究生招生考试试题
设 3 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=-2$, 且 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,-1,1)^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的属于 $\lambda_{1}$ 的 一个特征向量. 记 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{5}-4 \boldsymbol{A}^{3}+\boldsymbol{E}$, 其中 $\boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵.
( I ) 验证 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 是矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的特征向量, 并求 $\boldsymbol{B}$ 的全部特征值与特征向量;
(II) 求矩阵 $\boldsymbol{B}$.
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答案:
(I) 由 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=\boldsymbol{\lambda}_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}$, 知
$$
\boldsymbol{B} \boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(\boldsymbol{A}^{5}-4 \boldsymbol{A}^{3}+\boldsymbol{E}\right) \boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(\boldsymbol{\lambda}_{1}^{5}-4 \boldsymbol{\lambda}_{1}^{3}+1\right) \boldsymbol{\alpha}_{1}=-2 \boldsymbol{\alpha}_{1},
$$
故 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 是 $\boldsymbol{B}$ 的属于特征值 $-2$ 的一个特征向量.
因为 $\boldsymbol{A}$ 的全部特征值为 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{\text {. }}$, 所以 $B$ 的全部特征值为 $\lambda_{i}^{5}-4 \lambda_{i}^{3}+1(i=1,2,3)$, 即 $B$ 的 全部特征值为 $-2,1,1$.
由 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{\alpha}_{1}=-2 \boldsymbol{\alpha}_{1}$, 知 $\boldsymbol{B}$ 的属于特征值 $-2$ 的全部特征向量为 $k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}$, 其中 $k_{1}$ 是不为零的任意常数. 因为 $\boldsymbol{A}$ 是实对称矩阵,所以 $\boldsymbol{B}$ 也是实对称矩阵. 设 $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{\mathrm{T}}$ 为 $\boldsymbol{B}$ 的属于特征值 1 的任 一特征向量. 因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交, 所以 $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \boldsymbol{\alpha}_{1}=0$, 即
解得该方程组的基础解系为
$$
x_{1}-x_{2}+x_{3}=0 \text {. }
$$
$$
\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(-1,0,1)^{\mathrm{T}} \text {, }
$$
故 $\boldsymbol{B}$ 的属于特征值 1 的全部特征向量为 $k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+k_{3} \boldsymbol{\alpha}_{3}$, 其中 $k_{2}, k_{3}$ 为不全为零的任意常数.
(II) 令 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$, 那么
$$
\boldsymbol{P}^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}
\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\
\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\
-\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3}
\end{array}\right)
$$
因为
$$
\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{B P}=\left(\begin{array}{rrr}
-2 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$
所以
$$
\boldsymbol{B}=\boldsymbol{P}\left(\begin{array}{rrr}
-2 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) \boldsymbol{P}^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}
0 & 1 & -1 \\
1 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & 0
\end{array}\right) .
$$
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