题号:1640    题型:解答题    来源:2007年全国硕士研究生招生考试试题
设函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 在 $(a, b)$ 内具有二阶导数且存在相等的最大值, $f(a)=g(a)$, $f(b)=g(b)$, 证明: 存在 $\xi \in(a, b)$, 使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=g^{\prime \prime}(\xi)$.
0 条评论 分享 0 人点赞 收藏 ​ ​ 1 次查看 我来讲解
答案:
证 令 $h(x)=f(x)-g(x)$, 则 $h(a)=h(b)=0$.
设 $f(x), g(x)$ 在 $(a, b)$ 内的最大值 $M$ 分别在 $\alpha \in(a, b), \beta \in(a, b)$ 取得.
当 $\alpha=\beta$ 时, 取 $\eta=\alpha$, 则 $h(\eta)=0$.
当 $\alpha \neq \beta$ 时,
$$
\begin{aligned}
&h(\alpha)=f(\alpha)-g(\alpha)=M-g(\alpha) \geqslant 0, \\
&h(\beta)=f(\beta)-g(\beta)=f(\beta)-M \leqslant 0,
\end{aligned}
$$
由介直定理,存在介于 $\alpha$ 与 $\beta$ 之间的点 $\eta$, 使得 $h(\eta)=0$.
综上, 存在 $\eta \in(a, b)$, 使得 $h(\eta)=0$.
因此由罗尔定理可知, 存在 $\xi_{1} \in(a, \eta), \xi_{2} \in(\eta, b)$, 使得
$$
h^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=h^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=0,
$$
再由罗尔定理可知, 存在 $\xi \in\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right) \subset(a, b)$, 使得 $h^{\prime \prime}(\xi)=0$, 即
$$
f^{\prime \prime}(\xi)=g^{\prime \prime}(\xi) \text {. }
$$
①因本站题量较多,无法仔细核对每一个试题,如果试题有误,请点击 编辑进行更正。
②如果您有更好的解答,可以点击 我要评论进行评论。
③如果您想挑战您的朋友,点击 我要分享 下载题目图片发给好友。

关闭