【ID】1639 【题型】解答题 【类型】考研真题 【来源】2007年全国硕士研究生招生考试试题
计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $\Sigma$ 为曲面 $z=1-x^{2}-\frac{y^{2}}{4}(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 的上侧.
答案:
解 取 $\Sigma_{1}$ 为 $x O_{y}$ 平面上被椭圆 $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 所围部分的下侧,记 $\Omega$ 为由 $\sum$ 和 $\Sigma_{1}$ 围成的空
间闭区域.根据高斯公式, 得
$$
\begin{gathered}
I_{1}=\int_{\Sigma+\Sigma_{1}} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
=\int_{\Omega}^{1}(z+2 z+0) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\
=\int_{0}^{1} 3 z \mathrm{~d} z \int_{\int^{2}+\frac{y^{2}}{4} \leqslant 1-z} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
=\int_{0}^{1} 6 \pi z(1-z) \mathrm{d} z=\pi . \\
I_{2}=\int_{\Sigma_{1}} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
=-3 \iint_{x^{2}+\frac{y^{2}}{4} \leqslant 1} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0, \\
\text { 又 所以 }=I_{1}-I_{2}=\pi .
\end{gathered}
$$
所以

解析:

视频讲解

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