题号:1635    题型:填空题    来源:2007年全国硕士研究生招生考试试题
设曲面 $\Sigma:|x|+|y|+|z|=1$, 则 $\iint_{\Sigma}(x+|y|) \mathrm{d} S=$
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答案:
$\frac{4}{3} \sqrt{3}$

解析:

如图所示. $\Sigma$ 关于 $y O z$ 平面对称, $x$ 关于 $x$ 为奇函数, 从而 $\prod_{\Sigma} x \mathrm{~d} S=0$. 由变量的轮换对称性
得 $\iint_{\Sigma}|y| \mathrm{d} S=\iint_{\Sigma}|x| \mathrm{d} S=\iint_{\Sigma}|z| \mathrm{d} S$.
即 $I=\iint_{\Sigma}(x+|y|) \mathrm{d} S=\iint_{\Sigma}|y| \mathrm{d} S$
$$
\begin{aligned}
&=\frac{1}{3} \int_{\Sigma}(|x|+|y|+|z|) \mathrm{d} S \\
&=\frac{1}{3} \iint_{\Sigma} 1 \mathrm{~d} S=\frac{1}{3} \cdot \text { 曲面 } \Sigma \text { 的面积. }
\end{aligned}
$$
记 $\Sigma$ 在第一卦限部分的面积为 $\sigma_{1}$, 则 $\sigma_{1} \cos \gamma=\frac{1}{2}$, 即 $\sigma_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
因此 $I=\frac{1}{3} \cdot 8 \sigma_{1}=\frac{8}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4}{3} \sqrt{3}$.
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