题号:1627    题型:单选题    来源:2007年全国硕士研究生招生考试试题
设曲线 $L: f(x, y)=1(f(x, y)$ 具有一阶连续偏导数) 过第 II 象限内的点 $M$ 和第 IV象限内的点 $N, \Gamma$ 为 $L$ 上从点 $M$ 到点 $N$ 的一段弧, 则下列积分小于零的是( )
$A.$ $\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} x$. $B.$ $\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} y$. $C.$ $\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} s$. $D.$ $\int_{\Gamma} f_{x}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} x+f_{y}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} y$.
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答案:
B

解析:



解 记点 $M$ 与 $N$ 的坐标分别为 $\left(x_{M}, y_{M}\right),\left(x_{N}, y_{N}\right)$, 如右图所 示. 将 $f(x, y)=1$ 代人被积表达式得
A 项 $\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} x=\int_{\Gamma} 1 \mathrm{~d} x=x_{N}-x_{M} > 0$;
$\mathrm{B}$ 项 $\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} y=\int_{\Gamma} 1 \mathrm{~d} y=y_{N}-y_{M} < 0 ;$
C 项 $\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} s=\int_{\Gamma} \mathrm{d} s=\Gamma$ 的弧长 $ > 0$;
D 项 $\int_{\Gamma} f_{x}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} x+f_{y}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} y=0$,
因为将 $f(x, y)=1$ 求全微分得 $f_{x}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} x+f_{y}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} y=0$. 正确答案为 $\mathrm{B}$.
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