题号:1624    题型:单选题    来源:2007年全国硕士研究生招生考试试题
如图, 连续函数 $y=f(x)$ 在区间 $[-3,-2],[2,3]$ 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周, 在 区间 $[-2,0],[0,2]$ 上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周. 设 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$, 则下列结 论正确的是( )

$A.$ $F(3)=-\frac{3}{4} F(-2)$. $B.$ $F(3)=\frac{5}{4} F(2)$. $C.$ $F(-3)=\frac{3}{4} F(2)$. $D.$ $F(-3)=-\frac{5}{4} F(-2)$.
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答案:
C

解析:

解 如题目中图所示, 大小半圆的面积分别为 $\pi$ 与 $\frac{1}{4} \pi$.
按定积分的几何意义知, 当 $x \in[0,2]$ 时 $f(x) \geqslant 0$, 当 $x \in[2,3]$ 时 $f(x) \leqslant 0$. 则
$$
\begin{aligned}
&F(3)=\int_{0}^{3} f(t) \mathrm{d} t=\int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t+\int_{2}^{3} f(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2}\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{3}{8} \pi, \\
&F(2)=\int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \pi
\end{aligned}
$$
因为 $f(x)$ 为奇函数, 所以 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 为偶函数.
得 $\quad F(-3)=F(3)=\frac{3}{8} \pi, \quad F(-2)=F(2)=\frac{1}{2} \pi$.
因此 $F(-3)=\frac{3}{4} F(2)$. 故应选 C.
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