如图 1, 抛物线 $y=a x^2+b x+3(a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1,0), B(3,0)$ 两点, 与 $y$轴交于点 $C$.
(1) 求抛物线的解析式.
(2) 点 $P$ 在抛物线上, 点 $Q$ 在 $x$ 轴上, 以 $B, C, P, Q$ 为顶点的四边形为平行四边形,求点 $P$ 的坐标.
(3) 如图 2, 抛物线顶点为 $D$, 对称轴与 $x$ 轴交于点 $E$, 过点 $K(1,3$ ) 的直线（直线 $K D$ 除外) 与抛物线交于 $G, H$ 两点, 直线 $D G, D H$ 分别交 $x$ 轴于点 $M, N$. 试探究 $E M \cdot E N$ 是否为定值, 若是, 求出该定值; 若不是, 说明理由.